Квантовая теория теплоёмкостей Эйнштейна
была создана Эйнштейном в 1907 году при попытке
объяснить экспериментально наблюдаемую зависимость
теплоёмкости от температуры.
При разработке теории Эйнштейн
опирался на следующие предположения:
атомы в кристаллической решётке ведут себя
как гармонические осцилляторы,
не взаимодействующие друг с другом.
Частота колебаний всех осцилляторов одинакова и равна
; = ; / 2 ; {\displaystyle \nu =\omega /2\pi }
{\displaystyle \nu =\omega /2\pi }.
Число осцилляторов в 1 моле вещества равно
3 N a {\displaystyle 3N_{a}} {\displaystyle 3N_{a}},
где N a {\displaystyle N_{a}}
{\displaystyle N_{a}} — число Авогадро.
Энергия их квантования: ; = n ; ; {\displaystyle
\varepsilon =n\hbar \omega } {\displaystyle
\varepsilon =n\hbar \omega }, где n ; N
{\displaystyle n\in {\mathbb {N} }}
{\displaystyle n\in {\mathbb {N} }}, ;
{\displaystyle \hbar } \hbar —
редуцированная постоянная Планка (постоянная Дирака).
Число осцилляторов с различной энергией
определяется распределением Больцмана:
N n = N 0 exp ; ( ; ; ; k T n ) ,
{\displaystyle N_{n}=N_{0}\exp \
left(-{\hbar \omega \over kT}n\right),}
{\displaystyle N_{n}=N_{0}\exp
\left(-{\hbar \omega \over kT}n\right),}
где k {\displaystyle k} k — постоянная Больцмана,
T {\displaystyle T} T — термодинамическая температура.
Внутренняя энергия 1 моля вещества:
U ; ; = 3 ; ; N a . {\displaystyle {\bar {U}}_{\mu }=3
{\bar {\varepsilon }}N_{a}.} {\displaystyle
{\bar {U}}_{\mu }=3{\bar {\varepsilon }}N_{a}.}
Среднее значение энергии одного осциллятора;
; {\displaystyle {\bar {\varepsilon }}}
{\displaystyle {\bar {\varepsilon }}} находится
из соотношения для среднего значения:
; ; = ; n = 0 ; ; n N n ; n = 0 ;
N n {\displaystyle {\bar {\varepsilon }}={
\sum _{n=0}^{\infty }{\varepsilon _{n}N_{n}}
\over \sum _{n=0}^{\infty }{\ N_{n}}}}
{\displaystyle {\bar {\varepsilon }}=
{\sum _{n=0}^{\infty }{\varepsilon
_{n}N_{n}} \over \sum _{n=0}^{\infty }{\ N_{n}}}}
и составляет:
; ; = ; ; exp ; ( ; ; k T ) ; 1 ,
{\displaystyle {\bar {\varepsilon }}={\hbar
\omega \over \exp \left({\hbar \omega \over kT}
\right)-1},} {\displaystyle {\bar {\varepsilon }}=
{\hbar \omega \over \exp \left(
{\hbar \omega \over kT}\right)-1},}
отсюда:
U ; ; = 3 N a ; ; 1 exp ; ( ; ; k T ) ; 1 .
{\displaystyle {\bar {U}}_{\mu }=3N_
{a}\hbar \omega {1 \over \exp \left
({\hbar \omega \over kT}\right)-1}.}
{\displaystyle {\bar {U}}_{\mu }=3N_{a}
\hbar \omega {1 \over \exp \left(
{\hbar \omega \over kT}\right)-1}.}
Определяя теплоёмкость как производную
внутренней энергии по температуре,
получаем окончательную формулу для теплоёмкости:
C = d U d T = 3 R ( ; ; k T ) 2 exp
; ( ; ; k T ) ( exp ; ( ; ; k T ) ; 1 ) 2 .
{\displaystyle C={dU \over dT}=3R\left
({\hbar \omega \over kT}\right)^{2}{\exp
\left({\hbar \omega \over kT}\right)
\over \left(\exp \left({\hbar \omega
\over kT}\right)-1\right)^{2}}.}
{\displaystyle C={dU \over dT}=3R\left
({\hbar \omega \over kT}\right)^{2}{\exp
\left({\hbar \omega \over kT}\right) \over
\left(\exp \left({\hbar \omega \over kT}\right)-1\right)^{2}}.}
Согласно модели, предложенной Эйнштейном,
при абсолютном нуле температуры теплоёмкость
стремится к нулю, при больших температурах,
напротив, выполняется закон Дюлонга — Пти.
Величина ; E = ; ; k {\displaystyle \theta
_{E}={\hbar \omega \over k}} {\displaystyle
\theta _{E}={\hbar \omega \over k}}
иногда называется температурой Эйнштейна.